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선형대수 10. Cross products (feat. 3Blue1Brown)

Created at
2018/11/01
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 YouTube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 10편 내용을 간략하게 정리해본다.

1. What is cross product?

•
2차원 벡터의 경우, v⃗×w⃗=Area  of  parallelogram\vec v \times \vec w = Area \; of\; parallelogram
•
v⃗\vec v가 w⃗\vec w의 오른쪽에 위치하면 v⃗×w⃗>0\vec v \times \vec w \gt 0
•
v⃗\vec v가 w⃗\vec w의 왼쪽에 위치하면 v⃗×w⃗<0\vec v \times \vec w \lt 0
•
v⃗×w⃗=−  w⃗×v⃗\vec v \times \vec w = - \; \vec w \times \vec v

2. Cross product computation

•
v⃗\vec v와 w⃗\vec w의 좌표를 행렬의 column으로 넣고 행렬식 계산
•
e.g. v⃗=[31],  v⃗=[2−1]\vec v = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} , \; \vec v = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix} 일 경우:   v⃗×w⃗=det([321−1])\; \vec v \times \vec w = det\Bigl(\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}\Bigr)
•
두 벡터가 직교에 가까울수록 외적값이 커짐

3. 외적의 정확한 의미: v⃗×w⃗=p⃗\vec v \times \vec w = \vec p

•
개념적으로는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 면적이라고 볼 수 있지만 정확한 외적의 개념은 두 개의 3차원 벡터로 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것(결과가 면적이 아닌 벡터임)
•
p⃗\vec p의 길이가 두 벡터의 면적과 같고, p⃗\vec p의 방향은 평행사변형에 직교함(perpendicular)
◦
직교의 규칙: 오른손 규칙 (엄지, 검지, 중지가 p⃗,v⃗,w⃗\vec p, \vec v, \vec w)