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선형대수 13. Eigenvectors and eigenvalues(고유벡터와 고유값) (feat. 3Blue1Brown)

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2018/11/02
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 YouTube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 13편 내용을 간략하게 정리해본다.

1. 개념

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eigenvector와 eigenvalue를 이해하려면 앞에서 다룬 개념들에 대한 시각적 이해, 특히 행렬을 선형변환으로 생각하는 방법에 대한 이해가 선행되어야 함
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2차원 선형변환에서 대부분의 경우 특정 벡터는 그 벡터의 span을 벗어나게 되지만, 변형 후에도 고유한 span을 벗어나지 않는 경우가 있음
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행렬을 곱하는 것이 마치 scalar처럼 vector를 늘이고 줄이기(scaling)만 하는 것
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이 span에 놓여있는 벡터를 변환의 eigenvectors, 변환 도중 원래 벡터를 scaling하는 배수를 eigenvalue라고 함
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3차원 rotation에서 eigenvector를 찾을 수 있다면 그것이 바로 회전축이 됨

2. 계산

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계산식: Av⃗=λv⃗A \vec v = \lambda \vec v
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AA: 임의의 변환을 나타내는 행렬(transformation matrix)
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v⃗\vec v: 고유벡터(eigenvector)
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λ\lambda: 고유값(eigenvalue)
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scaling  by  λ⇔Matrix  multiplication  by[λ000λ000λ](=λI)scaling \; by \; \lambda \Leftrightarrow Matrix \; multiplication \; by \begin {bmatrix} \lambda &0&0 \\ 0&\lambda&0 \\ 0&0&\lambda\end{bmatrix}(=\lambda I)
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풀이
Av⃗=λv⃗Av⃗=(λI)v⃗(A−λI)v⃗=0det(A−λI)=0(squishification)\begin{aligned} A \vec v & = \lambda \vec v \\ A \vec v & = (\lambda I) \vec v \\ (A - \lambda I)\vec v & = 0 \\ det(A - \lambda I) & = 0 \quad (squishification) \\ \end{aligned}

3. Eigenbasis(고유기저)

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Eigenbasis: 기저벡터이기도 한 고유벡터의 쌍