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고윳값 분해 (1)

Created at
2018/12/02
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고윳값 분해

•
고윳값 분해(eigenvalue decomposition) or 고유 분해(eigen-decomposition)
•
고윳값과 고유벡터를 찾는 작업을 의미함

고윳값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)

•
정방 행렬 AA에 대해 다음 식을 만족하는 벡터 vv, 실수 λ\lambda 를 찾을 수 있다고 가정
Av=λvAv = \lambda v
◦
벡터를 선형 변환(행렬x벡터)해도 방향이 같은 벡터(실수x벡터)가 된다는 의미
◦
계산의 형태를 생각해보면 다음과 같음
•
위 식을 만족하는 실수 λ\lambda 를 고윳값, 벡터 vv 를 고유벡터라고 함
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고유벡터를 구할 때, 방향이 같은 벡터는 모두 고유벡터가 되므로, 보통은 크기가 1인 단위 벡터가 되도록 unit vector를 이용해 정규화함(벡터의 크기, norm으로 나누어주기)
v∥v∥\frac{v}{\Vert v \Vert}

고윳값, 고유벡터 계산하기

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먼저 고윳값를 구한 후에 이를 대입해서 고유벡터를 구함
•
행렬 AA의 고윳값은 다음과 같은 특성방정식(characteristic equation)의 해와 같음
f(λ)=det(A−λI)=0 f(\lambda) = det(A -\lambda I) = 0
◦
유도 과정
Av=λvAv=λIv(A−λI)v=0det(A−λI)=0\begin{aligned} Av & = \lambda v \\ Av & = \lambda I v \\ (A - \lambda I)v & = 0 \\ det(A - \lambda I) & = 0 \\ \end{aligned}
•
고윳값을 알면 다음 연립 방정식을 풀어 고유벡터를 구함
(A−λI)v=0(A - \lambda I)v = 0
•
e.g. 고윳값 계산하기 (행렬 A=[2321]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}에 대해)
◦
특성방정식
det(A−λI)=det([2321]−[λ00λ]=det[2−λ321−λ]=(2−λ)(1−λ)−6=λ2−3λ−4=0\begin{aligned} det(A- \lambda I) & = det(\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \\\\ & = det \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 3 \\ 2 & 1 - \lambda \end{bmatrix} \\\\ & = (2 - \lambda)(1 - \lambda) - 6 \\\\ & = \lambda^2 - 3\lambda - 4 = 0 \\ \end{aligned}
◦
고윳값 계산
λ2−3λ−4=(λ−4)(λ+1)=0\lambda^2 - 3\lambda - 4 = (\lambda - 4)(\lambda + 1) = 0

고윳값의 갯수

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NN차방정식이 항상 NN개의 복소수 해를 가진다는 사실을 이용하면 NN차원 정방행렬의 고윳값의 갯수는 다음과 같음
1.
중복된 고유값을 하나로 생각하고 실수 고윳값만 고려한다면 NN차원 정방행렬의 고윳값은 00개부터 NN개까지 있을 수 있다.
2.
중복된 고윳값을 각각 별개로 생각하고 복소수인 고윳값도 고려한다면 NN차원 정방행렬의 고윳값은 항상 NN개이다.

고윳값과 대각합/행렬식

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어떤 행렬의 고윳값이 λ1,λ2,⋯ ,λN\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_N 이라고 할 때, 모든 고윳값의 곱은 행렬식(determinant)의 값과 같고, 모든 고윳값의 합은 대각합(trace)의 값과 같음
det(A)=∏i=1Nλidet(A) = \prod_{i=1}^N \lambda_i
tr(A)=∑i=1Nλitr(A) = \sum_{i=1}^N \lambda_i
참고 자료