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선형대수 04. Matrix multiplication as composition (feat. 3Blue1Brown)

Created at
2018/10/30
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 youtube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 4편 내용을 간략히 정리해본다.

1. Composition of linear transformation

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선형변환을 한 번 하고 다시 선형변환을 하면 그 결과는 새로운 하나의 선현변환이 됨
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이를 행렬의 곱으로 나타낼 수 있음, 단 함수의 합성처럼 식의 왼쪽으로 곱해나가야 함
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e.g. 첫번째 선형변환을 [0−110]\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} (rotation), 두번째 선형변환을 [1101]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} (shear)라고 할 때 그 composition
→ [11 01]([0−1 10][x y])=[1−1 10][x y]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\\ 0 & 1\end{bmatrix}\Bigl(\begin{bmatrix} 0 & -1 \\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} \Bigr) = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\\ 1 & 0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix}
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이 때 composition 행렬을 두 원본 행렬의 곱(product)이라고 할 수 있음

2. Matrix multiplication

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M1=[efgh]M_1 = \begin{bmatrix} e & f \\ g & h\end{bmatrix} 과 M2=[abcd]M_2 = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}의 곱:
→ [ab cd][ef gh]=[ae+bgaf+bh ce+dgcf+dh]\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d\end{bmatrix} \begin{bmatrix} e & f \\\ g & h\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae+bg & af+bh \\\ ce+dg & cf+dh \end{bmatrix}
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교환법칙은 성립하지 않음: AB≠BAAB \neq BA (곱하는 순서는 중요하다!)
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결합법칙은 성립함: (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC) (Associativity)