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선형종속/선형독립 & 좌표변환

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2018/11/22
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1. 선형 종속과 선형 독립

벡터의 선형 종속과 선형 독립

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선형조합이 0벡터가 되는 경우로 선형 독립과 선형 종속을 판단함
c1x1+c2x2+⋯+cNxN=0c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_Nx_N = 0
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선형 독립(linearly independent): 위 식을 만족하는 모두 0이 아닌 스칼라값 c1,c2,⋯ ,xNc_1, c_2, \cdots, x_N이 존재하지 않는 경우 그 벡터들이 선형 독립임
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즉, 선형조합이 영벡터가 되려면 모든 스칼라가 0이어야 한다는 의미
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선형 종속(linearly dependent): 위 식을 만족하는 모두 0이 아닌 스칼라값 c1,c2,⋯ ,xNc_1, c_2, \cdots, x_N 이 존재할 경우 그 벡터들이 선형 종속임
◦
스칼라와 벡터를 잘 조합하면 00을 만들 수 있는 특수한 경우임

선형독립과 선형연립방정식

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matrix와 vector의 곱은 다음의 두 가지 방법으로 생각해 볼 수 있음
(1) inner product를 여러개 모아서 표현
(2) 선형조합을 모아서 표현
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여기서 (2)의 관점으로 보면, 선형조합을 알아내는 문제는 선형 연립방정식을 푸는 문제와 같음
◦
cc: 가중치 스칼라 값 cic_i가 모인 가중치 벡터
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XX: 열벡터 xix_i가 모인 행렬
c1x1+c2x2+⋯+cNxN=[x1x2⋯xN][c1c2⋮cN]=Xc\begin{aligned} c_1x_1 + c_2x_2 + \cdots + c_Nx_N & = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_N \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \\ \vdots \\ c_N \end{bmatrix} \\ & = Xc \\ \end{aligned}
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$X$행렬의 역행렬이 존재하면 0벡터가 유일한 해이므로 선형독립
Xc=0X−1Xc=X−10c=0\begin{aligned} Xc & = 0 \\ X^{-1}Xc & = X^{-1}0 \\ c & = 0 \\ \end{aligned}
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XX 행렬에 0벡터가 아닌 해 cc 가 존재하면 선형 종속
det(A)≠0,역행렬이 존재함 ⇔ 선형독립det(A)=0,즉 역행렬이 존재하지 않음 ⇔ 선형종속\begin{aligned} det(A) \neq 0 &, \text{역행렬이 존재함 ⇔ 선형독립} \\\\ det(A) = 0 &, \text{즉 역행렬이 존재하지 않음 ⇔ 선형종속} \end{aligned}

랭크

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열 랭크(column rank): 행렬의 열벡터 중 서로 독립인 벡터의 최대 갯수
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행 랭크(row rank): 행렬의 행 벡터 중 서로 독립인 벡터의 최대 갯수
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행 랭크와 열 랭크는 항상 같음

벡터 공간과 기저 벡터

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벡터 공간(vector space): 서로 독립인 벡터를 선형 조합하여 만들어지는 모든 벡터의 집합
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기저 벡터(basis vector): 벡터 공간을 만드는 서로 독립인 벡터 (선형종속인 벡터는 기저 벡터가 될 수 없음)
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표준 기저 벡터(standard basis vector): 기저 벡터 중 원소의 하나만 값이 1인 벡터 (단위행렬 II를 이루는 벡터들)

2. 좌표 변환(coordinate transform)

좌표 표현

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좌표표현(coordinate representation) 또는 좌표(coordinate): 기저벡터를 선형 조합하여 해당 벡터를 나타냈을 때 선형 조합 가중치
x=r1e1+r2e2x = r_1e_1 + r_2e_2
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위와 같이 기저 벡터 e1,e2e_1, e_2를 선형 조합하여 벡터 xx를 나타낼 경우 벡터 [r1 r2]\begin{bmatrix} r_1 \\\ r_2 \end{bmatrix}를 벡터 xx 의 기저벡터 e1,e2e_1, e_2 에 대한 좌표라고 함
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표준 기저 벡터에 대한 좌표는 원래 벡터와 같음

변환 행렬

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기저벡터를 바꾸면 벡터의 coordinate이 어떻게 바뀌는가를 계산하기 위한 행렬
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변환 행렬(transform matrix, TT로 표기): T=ATT = A^T
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행렬 AA: 새로운 기저 벡터의 (기존 기저 벡터에 대한) 좌표를 열벡터로 두고 행렬로 묶은 것
g1=ae1+ce2g2=be1+de2g_1 = ae_1 + ce_2 \\ g_2 = be_1 + de_2
◦
기존 기저벡터(e1,e2e_1, e_2)와 새로운 기저 벡터(g1,g2g_1, g_2)의 관계가 위와 같을 때 새로운 기저벡터의 좌표와 행렬 AA
g1의 좌표:[a c],g2의 좌표:[b d]g_1\text{의 좌표}: \begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} \text {,} \quad g_2 \text{의 좌표}: \begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix}
A=[ab cd]A = \begin{bmatrix} a & b \\\ c & d \end{bmatrix}

좌표 변환

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좌표 변환(coordinate transform): 새로운 기저 벡터에 대해 좌표를 계산하는 것
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좌표 변환은 행렬의 곱셈으로 구할 수 있음
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벡터 aa의 기존 기저벡터(e1,e2e_1, e_2)에 대한 좌표 a1a_1를 새로운 기저 벡터(g1,g2g_1, g_2)에 대한 좌표 a2a_2로 변환하기
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기존 기저벡터에 대한 좌표값과 새로운 기저벡터에 대한 좌표값이 가리키는 실제 위치는 같아야 함
a=a1e1+a2e2=a1′g1+a2′g2a = a_1e_1 + a_2e_2 = a'_1g_1 + a'_2g_2
a=[e1e2]a1=[g1g2]a′a = \begin{bmatrix} e_1 & e_2 \end{bmatrix}a_1 = \begin{bmatrix} g_1 & g_2 \end{bmatrix} a'
◦
이 식에서 a1′,a2′a'_1, a'_2가 새로운 기저 벡터에 대한 좌표임
a1′g1+a2′g2=[g1g2][a1′a2′]=[g1g2]a′=Aa′\begin{aligned} a'_1g_1 + a'_2g_2 & = \begin{bmatrix} g_1 & g_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a'_1 \\ a'_2 \end{bmatrix} \\\\ & = \begin{bmatrix} g_1 & g_2 \end{bmatrix} a' \\\\ & = Aa' \end{aligned}
◦
이 때, AA는 역행렬이 존재하므로 다음과 같이 새로운 좌표계를 계산 가능
Aa′=aa′=A−1a=Ta\begin{aligned} Aa' & = a \\ a' & = A^{-1}a \\ & = Ta \end{aligned}
•
좌표 변환 예제
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벡터 aa의 표준 기저 벡터에 대한 좌표: a=2e1+2e2=[22]a = 2e_1+2e_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}
◦
새로운 기저 벡터의 (표준 기저 벡터에 대한) 좌표: g1=[1212],  g2=[−1212]g_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}, \; g_2 = \begin{bmatrix} -\frac{1}{\sqrt 2} \\ \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}
◦
이 때, 새로운 기저 벡터에 대한 벡터 aa의 좌표는?
a′=A−1a=[12−121212]−1[22]=[1212−1212][22]=[220]\begin{aligned} a' & = A^{-1}a \\\\ & = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & -\frac{1}{\sqrt 2}\\ \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \\\\ & = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2}\\ -\frac{1}{\sqrt 2} & \frac{1}{\sqrt 2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \\\\ & = \begin{bmatrix} 2 \sqrt 2 \\ 0 \end{bmatrix} \\ \end{aligned}
참고 자료