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선형대수 03. Linear transformation and matrices (feat. 3Blue1Brown)

Created at
2018/10/30
Updated at
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Keywords
3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 YouTube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 3편 내용을 간략히 정리해본다.

1. Linear transformation이란

•
특정 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 변환 (input vector → output vector)
•
Linear 변환의 속성
◦
Lines remain lines
◦
Origin remains fixed
◦
Grid lines remain parallel and evenly spaced

2. Linear transformation 계산

•
기저벡터 i^\hat i와 j^\hat j의 변형위치를 알면 임의의 벡터 v⃗\vec v를 추론할 수 있음
•
e.g.
v⃗=−1i^+2j^\vec v = -1\hat i + 2\hat j에서 i^\hat i와 j^\hat j가 [12],[30]\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 3 \\ 0 \end{bmatrix}로 변형된 경우 변환된 v⃗\vec v 구하기
→ v⃗=−1(Transformed  i^)+2(Transformed  j^)=−1[12]+2[30]=[−1(1)+2(3)1(2)+2(0)]=[52]\begin{aligned} \vec v & = -1(Transformed \; \hat i) + 2(Transformed\; \hat j)\\ & = -1\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix}3\\0\end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} -1(1)+2(3) \\ 1(2)+2(0) \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \end{bmatrix} \end{aligned}
•
일반화
v⃗=xi^+yj^=[xy]\vec v = x\hat i + y\hat j = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}에서 i^\hat i 와 j^\hat j 가 [ac],[bd]\begin{bmatrix} a \\ c \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} b \\ d \end{bmatrix}로 변형된 경우 변환된 벡터 구하기
→ [ab cd][x y]=x[a c]+  y[b d]=[ax+by cx+dy]\begin{bmatrix} a & b \\\ c & d\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\ y \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} a \\\ c \end{bmatrix} + \;y\begin{bmatrix} b \\\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ax+by \\\ cx+dy \end{bmatrix}
⇒ 행렬-벡터 곱셈은 선형 변환을 계산하는 방법이라고 할 수 있음