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선형대수 12. Change of basis (feat. 3Blue1Brown)

Created at
2018/11/02
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 YouTube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 12편 내용을 간략하게 정리해본다.

1. 개념

•
우리의 basis vector(표준 좌표계): i^,j^\hat i, \hat j
◦
i^,j^\hat i, \hat j에 scalar를 곱하고 서로 더해(scaling) 특정 벡터를 나타낼 수 있음
•
Jennifer의 basis vector(alternative coordinate system) b^1,b^2\hat b_1, \hat b_2를 이용해 특정 벡터를 나타내면 좌표값이 완전히 달라짐

2. 좌표계 변환

•
Jennifer가 말하는 좌표를 우리의 좌표계로 표현/이해하려면?
◦
우리의 basis vector에서 Jennifer의 basis vector로의 “선형변환”
◦
e.g. Jennifer의 basis vector가 표준좌표계에서[21],[−11]\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix} 일 경우(A=[2−111]A = \begin{bmatrix}2&-1\\1&1 \end{bmatrix}) 제니퍼가 말하는 벡터 [21]\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix} 는 표준좌표계의 어떤 벡터인가? → [2−111][21]=[33]\begin{bmatrix}2&-1\\1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3\\3\end{bmatrix}
•
우리의 좌표계의 벡터(좌표)가 Jennifer의 좌표계에서는 어떻게 표현/이해되나?
◦
위의 “선형변환” matrix의 역을 취함 (Inverse change of basis matrix)
◦
e.g. 우리 표준좌표계의 [32]\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}는 Jennifer의 좌표계에서는 어떤 벡터인가? → [2−111]−1[32]=[5/31/3]\begin{bmatrix}2&-1\\1&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}3\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5/3\\1/3\end{bmatrix}
우리 좌표계의 행렬 변환 ⇆ Jennifer의 행렬 변환: A−1MAA^{-1}MA