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벡터와 유사도

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2018/11/21
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1. 유클리드 유사도(Euclidean Similarity)

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유클리드 거리(Euclidean distance): 두 벡터가 가리키는 점 사이의 거리
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두 벡터의 차의 길이로 구할 수 있음
∥a−b∥=∑i=1(ai−bi)2=∑i=1(ai2−2aibi+bi2)=∑i=1ai2+∑i=1bi2−2∑i=1aibi=∥a∥2+∥b∥2−2aTb\begin{aligned} \Vert a - b \Vert & = \sqrt{\sum_{i=1} (a_i - b_i)^2} \\ & = \sqrt{\sum_{i=1} ( a_i^2 - 2 a_i b_i + b_i^2 )} \\ & = \sqrt{\sum_{i=1} a_i^2 + \sum_{i=1} b_i^2 - 2 \sum_{i=1} a_i b_i} \\ & = \sqrt{\Vert a \Vert^2 + \Vert b \Vert^2 - 2 a^Tb } \\ \end{aligned}
∥a−b∥2=∥a∥2+∥b∥2−2aTb\Vert a - b \Vert^2 = \Vert a \Vert^2 + \Vert b \Vert^2 - 2 a^T b
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유클리드 유사도: 유클리드 거리와 반비례하는 값으로 정의할 수 있음

2. 코사인 유사도(Cosine Similarity)

2.1 벡터의 내적과 코사인

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두 벡터의 내적은 다음과 같이 벡터의 길이 ∥a∥,∥b∥\Vert a \Vert, \Vert b \Vert와 두 벡터 사이의 각도 θ\theta로 계산할 수 있음
aTb=∥a∥∥b∥cos⁡θa^Tb = \Vert a \Vert \Vert b \Vert \cos \theta
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cos⁡θ\cos \theta: θ\theta 각을 가지는 직각삼각형에서 빗변 aa와 아랫변 bb의 길이의 비율
◦
cos⁡θ\cos\theta의 값은 θ\theta가 0에 가까워질수록 1에 가까워지고 θ\theta가 90∘90{}^{\circ}에 가까워질수록 0에 가까워짐
cos⁡θ=밑변빗변\cos\theta = \dfrac{\text{밑변}}{\text{빗변}}
cos0∘=1cos 0^{\circ} = 1
cos⁡90∘=0\cos 90^{\circ} = 0

2.2 직교(orthogonal)

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직교: 두 벡터 aa와 bb가 이루는 각이 90도인 경우 직교한다고 하며 a⊥ba \perp b 로 표기
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cos⁡90∘=0\cos 90^{\circ} = 0 이므로 서로 직교인 두 벡터의 내적은 0
aTb=bTa=0        ↔        a⊥ba^T b = b^T a = 0 \;\;\;\; \leftrightarrow \;\;\;\; a \perp b

2.3 코사인 유사도(cosine similarity)

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두 벡터의 유클리드 거리 대신 두 벡터가 비슷한 방향을 가리키는 것을 유사하다고 볼 수도 있음
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코사인 유사도: 두 벡터가 이루는 각의 코사인 값
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두 벡터가 같은 방향을 가리키면(각도가 0) 최대값 1을 가짐
cosine similarity=cos⁡θ=xTy∥x∥∥y∥\text{cosine similarity} = \cos\theta = \dfrac{x^Ty}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert}
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추천시스템(recommend system)에서 사용자 취향의 유사성을 계산할 때 사용됨
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코사인 거리(cosine distance)
cosine distance=1−cosine similarity=1−xTy∥x∥∥y∥\text{cosine distance} = 1 - \text{cosine similarity} = 1 - \dfrac{x^Ty}{\Vert x\Vert \Vert y\Vert}
참고 자료