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선형대수 07. Inverse matrices, column space and null space (feat. 3Blue1Brown)

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2018/10/30
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 youtube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 7편 내용을 간략히 정리해본다.

1. Usefulness of matrices

•
특정 방정식계(system of equations)를 풀 수 있음 ⇦ Linear system of equations
•
system of equations: unknown variables & equations
2x+5y+3z=−3 4x+0y+8z=0 1x+3y+0z=2→[253 408 130][x y z]=[−3 0 2]→Ax⃗=v⃗\begin{matrix} 2x+5y+3z = -3 \\\ 4x+0y+8z=0 \\\ 1x+3y+0z=2 \end{matrix} \to \begin{bmatrix} 2&5&3 \\\ 4&0&8 \\\ 1&3&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\\ y \\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\\ 0 \\\ 2 \end{bmatrix} \to A\vec x = \vec v

2. Ax⃗=v⃗A\vec x = \vec v의 해 x⃗\vec x 를 구하는 방법

1) when det(A)≠0det(A) \neq 0 : AA의 역행렬이 존재 ⇨ Inverse transformation

•
Inverse matrices(역행렬) A−1A^{-1} : A−1A=IA^{-1}A = I
A−1Ax⃗=A−1v⃗x⃗=A−1v⃗\begin{aligned} A^{-1}A \vec x & = A^{-1}\vec v \\ \vec x & = A^{-1}\vec v \\ \end{aligned}

2) when det(A)=0det(A) = 0 : AA 의 역행렬이 존재하지 않음

•
rank: number of dimensions in the output of transformation
◦
변환의 결과가 선, 즉 1차원이라면 rank = 1
◦
변환의 결과가 평면 상의 벡터들이라면 rank = 2
•
n×nn \times n 행렬에서 rank가 nn보다 작을 경우, 즉 full rank가 아닐 경우, 공간이 더 작은 차원으로 축소했음을 의미
•
Column space of AA : set of all possible outputs of Av⃗A \vec v
◦
span of columns ⟺ column space
•
Null space(Kernel): 차원이 축소할 때 원점으로 이동되는 벡터들의 집합
•
Ax⃗=[00]A \vec x= \begin{bmatrix} 0\\ 0\end{bmatrix} 인 경우 null space 모두가 해가 될 수 있음