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선형대수 02. Linear combinations, span, and basis vectors (feat. 3Blue1Brown)

Created at
2018/10/24
Updated at
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3B1B
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선형대수 기본 개념을 익히는 데 아주 좋은 YouTube 3Blue1Brown 채널의 Essence of linear algebra 시리즈의 2편 내용을략히 정리해본다.

1. Basis vectors (기저 벡터)

•
basis: the basis of a vector is a set of linearly independent vectors that span the full space
•
xy coordinate system의 basis vector는 i^\hat i과 j^\hat j
◦
i^=[1 0], j^=[0 1]\hat i = \begin{bmatrix} 1 \\\ 0 \end{bmatrix}, \, \hat j = \begin{bmatrix} 0 \\\ 1 \end{bmatrix}
•
vector의 coordinate(좌표)은 scalar
◦
basis vectors i^\hat i과 j^\hat j를 scale함
◦
e.g. [−5 2]=(−5)i^+(2)j^\begin{bmatrix} -5 \\\ 2 \end{bmatrix} = (-5)\hat i + (2)\hat j

2. Linear combination (선형 조합)

•
linear combination of v⃗\vec v and w⃗\vec w: av⃗+bw⃗a\vec v + b\vec w

3. Span

•
v⃗\vec v 와 w⃗\vec w의 span이란 두 벡터의 모든 가능한 linear combination 조합
•
선형독립인 두 개의 2차원 벡터의 span은 2차원 평면 전체가 되고, 두 벡터가 일직선상에 놓인 경우, 즉 선형종속인 경우 두 벡터의 span은 직선이 됨

4. Linearly dependent(선형 종속)

•
선형종속: 한 벡터가 다른 두 벡터의 선형조합으로 표현될 경우
◦
u⃗=av⃗+bw⃗\vec u = a\vec v + b\vec w
◦
선형종속인 벡터는 redundant함 (이 벡터를 없애도 span이 줄어들지 않음)
•
선형독립: 한 벡터가 다른 두 벡터의 선형조합으로 표현되지 않는 경우
◦
u⃗≠av⃗+bw⃗\vec u \neq a\vec v + b\vec w